题目内容
2．
如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=$\frac{1}{2}$x平移得一系列抛物线，且同时满足下列两个条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…，Mn，…都在直线L：y=$\frac{1}{2}$x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…，An，…．
则顶点M2014的坐标为（4027，4027）．
分析 根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x-an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案．
解答 解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x-a1）2+a1的顶点，
抛物线y=x2与抛物线y1=（x-a1）2+a1相交于A1，
得x2=（x-a1）2+a1，
即2a1x=a12+a1，
x=$\frac{1}{2}$（a1+1）．
∵x为整数点
∴a1=1，
M1（1，1）；
M2（a2，a2）是抛物线y2=（x-a2）2+a2=x2-2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y=x2与y2相交于A2，
x2=x2-2a2x+a22+a2，
∴2a2x=a22+a2，x=$\frac{1}{2}$（a2+1）．
∵x为整数点，
∴a2=3，
M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2=（x-a3）2+a3=x2-2a3x+a32+a3顶点，
抛物线y=x2与y3相交于A3，
x2=x2-2a3x+a32+a3，
∴2a3x=a32+a3，
x=$\frac{1}{2}$（a3+1）．
∵x为整数点
∴a3=5，
M3（5，5），
∴点M2014，两坐标为：2014×2-1=4027，
∴M2014（4027，4027），
故答案为：（4027，4027）
点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，定点沿直线y=$\frac{1}{2}$x平移是解题关键．
练习册系列答案
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