Question

如图1，△ABC中，D、E、F分别为三边BC、BA、AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．
（1）若∠A=70°，求∠EDF的度数；
（2）如图2，EM平分∠BED，FN平分∠CFD，当EM∥FN时，求∠A的度数．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,平行线的性质,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据三角形的内角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°，根据邻补角的性质，等量代换，可得∠AED=∠A+∠C，∠AFD=∠A+∠B，根据四边形的内角和定理，可得∠A+∠AED+∠AFD+∠EDF=3∠A+∠B+∠C+∠EDF=360°，根据等式的性质，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠EDG=∠DEM=

1

2

∠BED=

1

2

∠B，∠FDG=∠DFN=

1

2

∠DFC=

1

2

∠C，根据角的和差、等量代换，可得∠EDF═90°-

1

2

∠A，根据解方程组，可得答案．

解答：解：（1）∵∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，
∴∠A+∠B+∠C=180°．
∵∠AED与∠BED是邻补角，∠AFD与∠CFD是邻补角，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，
∴∠AED=180°-∠DEB=180°-∠B=∠A+∠C，
∠AFD=180°-∠DFC=180°-∠C=∠A+∠B．
∵∠A+∠AED+∠AFD+∠EDF=3∠A+∠B+∠C+∠EDF=360°，
∴2∠A+∠EDF=180°．
∵∠A=70°
∴∠EDF=180°-2∠A=40°；
（2）如图：

作GD∥EM，交AC于G，
∵EM∥FN
∴EM∥GD∥FN
∴∠EDG=∠DEM=

1

2

∠BED=

1

2

∠B
∠FDG=∠DFN=

1

2

∠DFC=

1

2

∠C
∴∠EDF=∠EDG+∠FDG=

1

2

（∠B+∠C）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A．①
∵2∠A+∠EDF=180°②
将①代入②得
2∠A+90°-

1

2

∠A=180°，
解得∠A=60°．

点评：本题考查了三角形内角和定理，利用了三角形的内角和，四边形的内角和定理，平行线的性质，综合性较强，题目稍有难度．