Question

16．如果关于x的一元二次方程a²x+bx+c=0有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．
（1）方程x²-4x+3=0是立根方程，方程x²-2x-3=0不是立根方程；（请填“是”或“不是”）
（2）请证明：当点（m，n）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$上时，一元二次方程mx²+4x+n=0是立根方程；
（3）若方程ax²+bx+c=0是立根方程，且两点P（p+p²+1，q）、Q（-p²+5+q，q）均在二次函数y=ax²+bx+c上，请求方程ax²+bx+c=0的两个根．

Answer 1

分析 （1）分别解方程x²-4x+3=0与x²-2x-3=0，求出它们的根，根据“立根方程”的定义，判断它们是不是立根方程．
（2）由点（m，n）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$ 的图象上，得到mn=3，解方程mx²+4x+n=0求得x₁与x₂的值，判断是不是立根方程．
（3）由方程ax²+bx+c=0是立根方程，得到x₁=3x₂，由相异两点P（p+p²+1，q），Q（-p²+5+q，q）都在抛物线y=ax²+bx+c上，而抛物线的对称轴相同，于是求出方程的两个根．

解答 解：（1）解方程x²-4x+3=0，得：x₁=3，x₂=1，
∵x₁=3x₂，
∴方程x²-4x+3=0是立根方程；
解方程x²-2x-3=0，得：x₁=3，x₂=-1，
∵x₁=-3x₂，
∴方程x²-2x-3=0不是立根方程．
故答案为：是，不是．
（2）∵点（m，n）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$ 的图象上，
∴n=$\frac{3}{m}$，
mx²+4x+n=0
即mx²+4x+$\frac{3}{m}$=0
解方程（mx）²+4mx+3=0
得：x₁=-$\frac{3}{m}$，x₂=-$\frac{1}{m}$，
∴x₁=3x₂，
当点（m，n）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$上时，一元二次方程mx²+4x+n=0是立根方程；
（3）∵方程ax2+bx+c=0是立根方程，
∴设x₁=3x₂，
∵相异两点P（p+p²+1，q），Q（-p²+5+q，q）都在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴抛物线的对称轴x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{p+{p}^{2}+1-{p}^{2}+5+q}{2}$=$\frac{6+p+q}{2}$，
∴x₁+x₂=6+p+q，
∴3x₂+x₂=6+p+q，
∴x₂=$\frac{6+p+q}{4}$，
∴x₁=3x₂=$\frac{18+3p+3q}{4}$．
所以方程ax²+bx+c=0的两个根为：x₁=$\frac{18+3p+3q}{4}$，x₂=$\frac{6+p+q}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．