Question

10．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过点（$\frac{1}{2}$，8），直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）先把点（$\frac{1}{2}$，8）代入y=$\frac{k}{x}$可求出k的值，从而得到反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$；再把Q（4，m）代入反比例函数解析式求出m，确定Q点坐标（4，1），然后把Q（4，1）代入y=-x+b求出b即可得到直线的解析式；
（2）先确定A点和B点坐标，然后利用S_△OPQ=S_△OAB-S_△OBP-S_△OQA和三角形面积公式进行计算．

解答 解：（1）由反比例函数的图象经过点（$\frac{1}{2}$，8），可知k=xy=$\frac{1}{2}$×8=4，
所以反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，
∵点Q是反比例函数和直线y=-x+b的交点，
∴m=$\frac{4}{4}$=1，
∴点Q的坐标是（4，1），
∴b=x+y=4+1=5，
∴直线的解析式为y=-x+5；

（2）如图所示：由直线的解析式y=-x+5可知与x轴和y轴交点坐标点A与点B的坐标分别为（5，0）、（0，5），
由反比例函数与直线的解析式可知两图象的交点坐标分别点P（1，4）和点Q（4，1），
过点P作PC⊥y轴，垂足为C，过点Q作QD⊥x轴，垂足为D，

∴S_△OPQ=S_△AOB-S_△OAQ-S_△OBP
=$\frac{1}{2}$×OA×OB-$\frac{1}{2}$×OA×QD-$\frac{1}{2}$×OB×PC
=$\frac{1}{2}$×25-$\frac{1}{2}$×5×1-$\frac{1}{2}$×5×1
=$\frac{15}{2}$

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．