Question

17．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c交x轴于A，B两点，并经过点C，已知点A的坐标是（-6，0），点C的坐标是（-8，-6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标及点B的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，并延长CD交抛物线于点E，连接AC，AE，求△ACE的面积；
（4）抛物线上有一个动点M，与A，B两点构成△ABM，是否存在S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ACD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点和C点坐标代入解析式得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）把（1）中的一般式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；然后解方程-$\frac{1}{2}$x²-4x-6=0可得B点坐标；
（3）先利用待定系数法确定直线CD的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+6，则通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+6}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-4x-6}\end{array}\right.$得E（-3，$\frac{3}{2}$），然后根据三角形面积公式，利用S_△ACE=S_△ADE+S_△ACD进行计算；
（3）设M（x，-$\frac{1}{2}$x²-4x-6），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•4•|-$\frac{1}{2}$x²-4x-6|=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•2•3，然后解绝对值方程即可得到满足条件的M点的坐标．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{-18-6b+c=0}\\{-32-8b+c=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-4x-6；
（2）y=-$\frac{1}{2}$（x+4）²+2，则抛物线的顶点坐标为（-4，2）；
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²-4x-6=0，解得x₁=-6，x₂=-2，则B（-2，0）；
（3）设直线CD的解析式为y=mx+n，
把D（-4，0），C（-8，-6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{-8m+n=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=6}\end{array}\right.$，
所以直线CD的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+6，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+6}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-4x-6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-8}\\{y=-6}\end{array}\right.$，则E（-3，$\frac{3}{2}$），
所以S_△ACE=S_△ADE+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$×2×6=7.5；
（3）存在．
设M（x，-$\frac{1}{2}$x²-4x-6），
∵S_△ABM=$\frac{1}{2}$S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}$•4•|-$\frac{1}{2}$x²-4x-6|=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•2•3，
当-$\frac{1}{2}$x²-4x-6=$\frac{3}{2}$，解得x₁=-3，x₂=-5，此时M点坐标（-3，$\frac{3}{2}$）或（-5，$\frac{3}{2}$）；
当-$\frac{1}{2}$x²-4x-6=-$\frac{3}{2}$，解得x₁=-4+$\sqrt{7}$，x₂=-4-$\sqrt{7}$，此时M点坐标（-4+$\sqrt{7}$，-$\frac{3}{2}$）或（-4-$\sqrt{7}$，-$\frac{3}{2}$），
综上所述，点M的坐标为（-3，$\frac{3}{2}$）或（-5，$\frac{3}{2}$）或（-4+$\sqrt{7}$，-$\frac{3}{2}$）或（-4-$\sqrt{7}$，-$\frac{3}{2}$）时，S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ACD．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式，会求直线与抛物线的交点坐标；理解坐标与图形的性质；灵活利用三角形的面积公式求图形的面积．