Question

14．（1）如图①，过⊙O上一点P作两条弦PA、PB，若PA=PB，则PO平分∠APB，为什么？
（2）如图②，若点P在⊙O内，过点P的两条弦AC，DB相等，则PO平分∠APB吗？为什么？
（3）如图③，若点P在⊙O外，过点P作PA、PB，分别交⊙O于点A，C和B，D，且AC=BD，则PO平分∠APB吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）如图①，作直径PQ，根据圆心角、弧、弦的关系，由PA=PB得到$\widehat{PA}$=$\widehat{PB}$，所以$\widehat{AQ}$=$\widehat{BQ}$，则根据圆周角定理得∠APQ=∠BPQ；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连结OA、ON，如图②，根据垂径定理得到AM=CM，BN=DN，由于AC=BD，则AM=BN，根据勾股定理得OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$，ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$，所以OM=ON，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到PO平分∠APB；
（3）与（2）的解题方法一样可得到PO平分∠APB．

解答 解：（1）如图①，作直径PQ，
∵PA=PB，
∴$\widehat{PA}$=$\widehat{PB}$，
∴$\widehat{AQ}$=$\widehat{BQ}$，
∴∠APQ=∠BPQ，
∴PO平分∠APB；
（2）PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连结OA、ON，如图②，则AM=CM，BN=DN，
∵AC=BD，
∴AM=BN，
而OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$，ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$，
∴OM=ON，
∴PO平分∠APB；
（3）PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连结OA、ON，如图②，则AM=CM，BN=DN，证明方法与（2）一样．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．