Question

3．已知二次函数y₁=x²+mx+n的图象经过点P（-3，1），对称轴是经过（-1，0）且平行于y轴的直线．
（1）求m，n的值．
（2）如图，一次函数y₂=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．
（3）直接写出y₁＞y₂时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对称轴公式求得m，把P（-3，1）代入二次函数y=x²+mx+n得出n=3m-8，进而就可求得n；
（2）根据（1）得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式；
（3）结合图形解答即可．

解答 解：∵对称轴是经过（-1，0）且平行于y轴的直线，
∴-$\frac{m}{2}$=-1，
∴m=2，
∵二次函数y=x²+mx+n的图象经过点P（-3，1），
∴9-3m+n=1，
∴n=3m-8=-2；
（2）∵m=2，n=-2，
∴二次函数为y=x²+2x-2，
作PC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则PC∥BD，
∴$\frac{PC}{BD}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵P（-3，1），
∴PC=1，
∵PA：PB=1：5，
∴PA：AB=1：6，
∴BD=6，
∴B的纵坐标为6，
代入二次函数为y=x²+2x-2得，6=x²+2x-2，
解得x₁=2，x₂=-4（舍去），
∴B（2，6），
则$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{2k+b=6}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y₂=x+4；
（3）由图象可知，当x＜-3或x＞2时，y₁＞y₂．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式以及二次函数与不等式，根据已知条件求得B的坐标、灵活运用数形结合思想是解题的关键．