题目内容
定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：
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（由于
和
是相等向量，因此只算一个）．（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2），试求f（2）的值；
（2）作n个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（n），试求f（n）的值；
（3）作2×3个相邻的正方形（如图三）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2×3），试求f（2×3）的值；
（4）作m×n个相邻的正方形（如图四）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（m×n），试求f（m×n）的值．
【答案】分析：（1）根据图形，即可求得f（2）的值；
（2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到规律为：f（n）=6n+2；
（3）根据图形，即可求得f（2×3）的值；
（4）先分析特殊情况，再求得规律：f（m×n）=2（m+n）+4mn．
解答：解：（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）=14；
（2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，
∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26，
∴f（n）=6n+2；
（3）f（2×3）=34；
（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62
∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．
点评：此题考查了向量的知识．注意解此题的关键是找到规律：f（n）=6n+2与f（m×n）=2（m+n）+4mn．
（2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到规律为：f（n）=6n+2；
（3）根据图形，即可求得f（2×3）的值；
（4）先分析特殊情况，再求得规律：f（m×n）=2（m+n）+4mn．
解答：解：（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）=14；
（2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，
∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26，
∴f（n）=6n+2；
（3）f（2×3）=34；
（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62
∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．
点评：此题考查了向量的知识．注意解此题的关键是找到规律：f（n）=6n+2与f（m×n）=2（m+n）+4mn．
练习册系列答案
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（由于
和
是相等向量，因此只算一个）．
定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。
如以正方形
的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同
的向量:
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（由于和
是相等向量，因此只算一个）。
⑴ 作两个相邻的正方形(如图)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为
，试求的值；
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⑵ 作
个相邻的正方形(如图)“
一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为
，试求的值；
…
共n个正方形
⑶ 作
个相邻的正方形(如图)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为
，试求的值；
⑷ 作
个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为
，试求的值。
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