Question

2．已知二次函数y=ax²-（3a+1）x+2a+1 （a≠0），与x轴交与A（x₁，0）B（x₂，0）两点，与y轴交与C点．
（1）求出该函数的图象经过的定点的坐标．
（2）若A为（1）中所求的某一定点，且x₁、x₂，之间的整数恰有3个（不包括x₁、x₂），试求a的取值范围．
（3）当a=$\frac{1}{2}$时，将与x轴重合的直线绕着D（-5，0）逆时针旋转得到直线l：y=kx+b，过点C、B分别作l的垂线段，距离为d₁、d₂，试分别求出当|d₁-d₂|最大和最小时b的值．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²-（3a+1）x+2a+1 （a≠0），可得y=（x²-3x+2）a-x+1，由该函数的图象经过的定点，可得x²-3x+2=0，解方程即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解，分别列出不等式组即可解决问题；
（3）当B（4，0）时，①如图1中，CE⊥l于E，BF⊥l于F，连接BC交EF于K．当CE=BF时，|d₁-d₂|的值最小，易证明△CEK≌△BFK，可得CK=BK，推出K（2，1），求出直线DK的解析式即可解决问题；②如图2中，如图2中，作 CK⊥BF于K，则四边形CEFK是矩形，在Rt△CBK中，易知BK≤BC，推出当BC⊥DE时，|d₁-d₂|的值最大，由此求出直线DE的解析式即可解决问题；当点B坐标为（1，0）时，同法可求；

解答 解：（1）∵y=ax²-（3a+1）x+2a+1 （a≠0），
∴y=（x²-3x+2）a-x+1，
∵该函数的图象经过的定点，
∴x²-3x+2=0，
∴x=1或2，
∵x=1时，y=0，x=2时，y=-1，
∴定点的坐标为（1，0）或（2，-1）．

（2）易知A（1，0），B（2+$\frac{1}{a}$，0），
∵x₁、x₂，之间的整数恰有3个（不包括x₁、x₂），
∴-3≤2+$\frac{1}{a}$＜-2或
解得-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{2}{5}$或$\frac{2}{3}$≤a＜1．

（3）∵a=$\frac{1}{2}$，
∴C（0，2），B（1，0）或（4，0），
①当B（4，0）时，①如图1中，CE⊥l于E，BF⊥l于F，连接BC交EF于K．

当CE=BF时，|d₁-d₂|的值最小，易证明△CEK≌△BFK，
∴CK=BK，
∵C（0，2），B（4，0），
∴K（2，1），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把D（-5，0），K（2，1）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=0}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{7}}\\{b=\frac{5}{7}}\end{array}\right.$，
②如图2中，如图2中，作 CK⊥BF于K，则四边形CEFK是矩形，

∵CE=FK，
∴|d₁-d₂|=BF-CE=BK，
在Rt△CBK中，易知BK≤BC，
∴当BC⊥DE时，|d₁-d₂|的值最大，
∵直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴可以假设直线DE的解析式为y=2x+b，把D（-5，0）代入得到b=10，
综上所述，满足条件的b的值为$\frac{5}{7}$或10．
当B点坐标为（1，0）时，同法可求b的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{10}{11}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、不等式组、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．