Question

如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，过点C作半圆M的切线交半圆M于点D，延长AD交圆O于点E，若AB等于4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：由CD为半圆M的切线，得到DC垂直于MD，再由M为OA中点，C为OB中点，得到AM=MO=OC=BC=1，在直角三角形DMC中，根据DM等于MC的一半，得到∠DCM=30°，∠DMC=60°，根据AM=DM，得到∠MAD=∠OEA=30°，在直角三角形AOD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，求出OD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AE的长，同理求出DF与AC的长，确定出∠EOB的度数，阴影部分面积=三角形AOE面积+舒扇形OEB面积-三角形ACD面积，求出即可．

解答：解：∵CD与半圆M相切，
∴DC⊥MD，
∵AB=4，O为AB中点，M、C分别为AO、OB的中点，
∴AM=OM=OC=CB=1，
在Rt△MDC中，DM=1，MC=OM+OC=2，
∴DM=

1

2

MC，即∠DCM=30°，
∴∠DMC=60°，
∵AM=DM，
∴∠MAD=∠MDA=30°，
∴∠EOB=60°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30°，
∴OD=

1

2

OA=1，AD=

22-12

=

3

，
∵OD⊥AE，
∴AE=2AD=2

3

，
∴DF=

1

2

AD=

3

2

，AF=

( 3 )2-( 3 2 )2

=

3

2

，
∴AC=2AF=3，
则S_阴影=S_△AOE+S_扇形EOB-S_△ACD=

1

2

×2

3

×1+

60π×22

360

-

1

2

×3×

3

2

=

3

4

+

2π

3

．

点评：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及扇形的面积计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．