Question

如图，P是正△ABC的边CB延长线上一点，Q是BC延长线上一点，∠PAQ=120°．求证：
（1）△PAB∽△PAQ∽△QCA．
（2）BC²=PB•CQ．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定

专题：证明题

分析：（1）易证∠ABP=∠ACQ=120°，即可证明△PAB∽△PAQ，△PAQ∽△QCA，即可解题；
（2）根据（1）中结论可得

PB

AC

=

AB

CQ

，根据AB=AC=BC，即可解题．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABP=∠ACQ=120°，
∵∠P=∠P，∠Q=∠Q，
∴△PAB∽△PAQ，△PAQ∽△QCA，
∴△PAB∽△PAQ∽△QCA；
（2）∵△PAB∽△QCA，
∴

PB

AC

=

AB

CQ

，
∴PB•CQ=AB•AC，
∵AB=AC=BC，
∴BC²=PB•CQ．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△PAB∽△QCA是解题的关键．