Question

如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16．点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2．则四边形AEPQ周长的最小值为

 

．（结果保留根号）

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,菱形的性质

专题：代数几何综合题,数形结合

分析：将菱形ABCD放置在平面直角坐标系中，使得B为原点，BD在x的正半轴上，根据题意得出A、B、E三点的坐标，将A平行向左移动2个单位到A'点，作A'关于x轴的对称点F，则F（6，-6），连EF，交x轴于点P，在x轴上向正方向上截取PQ=2，此时四边形AEPQ的周长最小，AQ+EP=A'P+EP=FP+EP=EF，由此即可得出结论．

解答：解：如图所示：
将菱形ABCD放置在平面直角坐标系中，使得B为原点，BD在x的正半轴上，
∵菱形ABCD的边长是10，对角线BD=16，点E是AB的中点，
∴A（8，6），B（0，0），E（4，3），将A平行向左移动2个单位到A'点，则A'（6，6），作A'关于x轴的对称点F，则F（6，-6），连EF，交x轴于点P，在x轴上向正方向上截取PQ=2，
此时，四边形AEPQ的周长最小，
∵AE=

AB

2

=5，PQ=2，AQ+EP=A'P+EP=FP+EP=EF，
∴四边形四边形AEPQ的周长=5+2+

(4-6)2+(3+6)2

=7+

85

．
故答案为：7+

85

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．