Question

13．点E是正方形ABCD的对角线BD上一点．∠AEF=90°，F在BC上，连接EC．求证：EF=EC．

Answer 1

分析 作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，则∠AME=∠BME=∠FNE=90°，由正方形的性质得出四边形MBNE是矩形，EM=EN，得出∠MEN=90°，证出∠AEM=∠FEN，由ASA证明△AME≌△FNE，得出AE=EF，由线段垂直平分线的性质得出AE=EC，即可得出结论．

解答 证明：作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，如图所示：
则∠AME=∠BME=∠FNE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴四边形MBNE是矩形，EM=EN，
∴∠MEN=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
在△AME和△FNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠FNE}&{\;}\\{EM=EN}&{\;}\\{∠AEM=∠FEN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△FNE（ASA），
∴AE=EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴直线BD为线段AC的垂直平分线，
又∵点E在BD上，
∴AE=CE．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、矩形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．