Question

观察：已知x≠1．
（1-x）（1+x）=1-x²
（1-x）（1+x+x²）=1-x³
（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
…
猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=________；
应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=________；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=________；
拓广：①（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=________；
②判断2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．

Answer 1

1-xⁿ⁺¹    -63    2ⁿ⁺¹-2    x¹⁰⁰-1
分析：根据一系列等式总结出规律即可；
应用①利用得出的规律计算即可得到结果；
②所求式子变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
拓广①所求式子第一个因式提取-1变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
②所求式子个位上数字为2，理由为：将所求式子变形后，利用规律计算，根据以2为底数的幂结果以2，4，8，6循环，用2011除以4得到余数为3，即可得到结果个位上的数字为2．
解答：猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=-63；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2；
拓广：①（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=x¹⁰⁰-1；
②个位上数字为2，理由为：
∵2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1
=-（1-2）（2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1）
=-1+2²⁰¹¹，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，…，其结果以2，4，8，6循环，
∴2011÷4=502…3，
则2²⁰¹¹个位上数字为8，即-1+2²⁰¹¹个位上数字为7．
点评：此题考查了整式混合运算的应用，找出本题的规律是解本题的关键．