题目内容
20．某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的售价（1≤x≤100）为（x+30）元/件，而该商品每天的销量满足关系式y=200-2x．如果该商品第15天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润（1）求该公司生产每件商品的成本为多少元
（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？
（3）该公司每天需要控制人工、水电和房租支出共计a元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在4000元至4500元之间（包含4000和4500），且保证至少有90天赢利，请直接写出a的取值范围．
分析 （1）设该公司生产每件商品的成本为a元，根据：实际售价-成本=利润，列出方程，解方程可得；
（2）根据：每天利润=单件利润×每天销售量列出函数关系式，配方成顶点式可得函数的最值情况；
（3）根据（2）中每天利润减去每天开支a元列出函数关系式P=-2（x-50）2+5000-a，根据最大利润要控制在4000元至4500元之间可得关于a的不等式，解不等式可得a的取值范围，再由至少有90天的盈利可知-2x2+200x-a=0的两根x1、x2间距离x1-x2≥90，根据韦达定理可得关于a的不等式，求得a的范围，综合上述情况确定a的范围．
解答 解：（1）设该公司生产每件商品的成本为m元，则
（1+20%）•m=0.8×（15+30）
解得，m=30，
即该公司生产每件商品的成本为30元；
（2）设销售该商品第x天时，当天的利润为w元，则
w=（200-2x）（x+30-30）=-2（x-50）2+5000，
∴当x=50时，w取得最大值，此时w=5000，
即销售该商品第50天时，每天的利润最大，最大利润5000元；
（3）记公司每天控制人工、水电和房租支出共计a元后利润为P，
则P=-2（x-50）2+5000-a，
根据题意：4000≤5000-a≤4500，
解得：500≤a≤1000，
又∵至少有90天的盈利，
∴-2x2+200x-a=0的两根x1、x2间距离x1-x2≥90，
∴（x1-x2）2≥902，即（x1+x2）2-4x1x2≥902，
∵x1+x2=100，x1x2=$\frac{a}{2}$，
∴1002-4×$\frac{a}{2}$≥902，
解得：a≤950，
综上，500≤a≤950．
点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力，明确不等关系并据此列出方程或函数关系式是解题基础，根据题意挖掘出不等关系求a的范围是关键．
53随堂测系列答案
如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=98°，∠C′=42°，则∠B的度数为40°．
如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是直径，分别延长AB、CD相交于点E，AC=AE，过点D作DF∥BC于点F．
如图，A、B分别为反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0），y=$\frac{8}{x}$（x＞0）图象上的点，且OA⊥OB，则sin∠ABO的值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{2}}{5}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{5}$ | C． | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ | D． | $\frac{\sqrt{7}}{5}$ |
| A． | a=b | B． | b=c | C． | a=c | D． | a=b=c |
| A． | -2 | B． | $-\sqrt{2}$ | C． | 0 | D． | 1 |
本学期开学初，学校体育组对九年级某班50名学生进行了跳绳项目的测试，根据测试成绩制作了下面扇形统计图，扇形统计图中的部分数据已被涂黑，但知道以下信息：得4分人数比得3分人数4倍多5人；得2分人数与得5分人数一样多，均为10人．
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20，有一个半径为10的圆分别与AB、BC相切，则此圆的圆心是（ ）| A． | AB边的中垂线与BC中垂线的交点 | B． | ∠B的平分线与AB的交点 | ||
| C． | ∠B的平分线与AB中垂线的交点 | D． | ∠B的平分线与BC中垂线的交点 |