Question

如图7，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．
（1）求证：△OAE ≌△OBG．

（2）试问：四边形BFGE是否为菱形?若是，请证明；若不是，请说明理由．

（3）试求：的值（结果保留根号）．

 

Answer 1

．解：（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形

∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°            

∵BH⊥AF

∴∠AHG=90°

∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH

∴∠GAH=∠OBG

∴△OAE≌△OBG.

（2）四边形BFGE是菱形,理由如下：

∵∠GAH=∠BAH,AH=AH, ∠AHG=∠AHB

∴△AHG≌△AHB

∴GH=BH

∴AF是线段BG的垂直平分线

∴EG=EB,FG=FB

∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=，∠BFE=90°-∠BAF=67.5°

∴∠BEF=∠BFE                    

∴EB=FB

∴EG=EB=FB=FG

∴四边形BFGE是菱形

（3）设OA=OB=OC=a,菱形GEBF的边长为b.

∵四边形BFGE是菱形,

 ∴GF∥OB, ∴∠CGF=∠COB=90°,

 ∴∠GFC=∠GCF=45°,

∴CG=GF=b

（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a－b,OC－CG=a-b,得CG=b）

∴OG=OE=a-b,在Rt△GOE中，由勾股定理可得：，求得

∴AC=,AG=AC－CG=

∵PC∥AB, ∴△CGP∽△AGB,

∴,

由（1）△OAE≌△OBG得AE=GB，

∴