Question

1．如图①，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线与抛物线y=ax²（a＞0）相交于A、B两点，设点B的横坐标为m（m＞0）．
（1）求AB的长（用含m的代数式表示）．
（2）如图②，点C在直线AB上，点C的横坐标为2m，若a=1，m=2，求顶点在x轴上且经过B、C两点的抛物线的顶点坐标．
（3）点D在直线AB上，BD=2AB，过O、B、D三点的抛物线的顶点为P，其对应函数的二次项系数为a₁．
①求$\frac{{a}_{1}}{a}$的值．
②当m=2，△BPD为等腰直角三角形时，直接写出a的值．

Answer 1

分析 （1）依据抛物线的对称性可求得点A的横坐标为-m，然后依据AB=x_B-x_A求解即可；
∴AB=m-（-m）=2m．
（2）先求得经过B、C且顶点在x轴上的抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$m，然后将m=2代入可求得顶点的横坐标，然后依据x轴上各点的纵坐标为0求解即可；
（3）①当点D在点B的右侧时．先用含m的式子表示点B、D的坐标，然后可得到抛物线的对称轴为x=3m，设过点O、B、D三点的抛物线的解析式为y=a₁（x-3m）²+k．将（0，0）代入求得k的值，得到抛物线的解析式，然后依据B、D两点的纵坐标相等可得到关于a、a₁的等式于是可求得$\frac{{a}_{1}}{a}$的值；同理可求得当点D在点B左侧时$\frac{{a}_{1}}{a}$的值；②当点D在点B的右侧时．过点P作PF⊥x轴，交AB与点E．先求得PE的长，然后依据PE=$\frac{1}{2}$BD列出关系式，然后将m=2，a₁=-$\frac{1}{5}$a代入可求得a的值；当点D在点B的左侧时，连结AP，交x轴与点E．先求得AP的长，然后依据AP=$\frac{1}{2}$BD列出关系式，然后将m=2，a₁=$\frac{1}{3}$a代入可求得a的值．

解答 解：（1）∵点B的横坐标为m，点A与点B关于y轴对称，
∴点A的横坐标为-m．
∴AB=m-（-m）=2m．
（2）∵点B和点C关于对称轴对称，
∴经过B、C且顶点在x轴上的抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$m．
∵m=2，
∴抛物线的对称轴为x=3．
∴经过B、C且顶点在x轴上抛物线的顶点坐标为（3，0）．
（3）①如图1所示：当点D在点B的右侧时．

∵点B的横坐标为m，AB=2m，BD=2AB，
∴BD=4m．
∴点D的横坐标为5m．
∴过点O、B、D三点的抛物线的对称轴为x=3m．
设过点O、B、D三点的抛物线的解析式为y=a₁（x-3m）²+k．
将（0，0）代入得：k=-9a₁m²．
∴抛物线的解析式为y=a₁（x-3m）²-9a₁m²．
∵点B为两抛物线的交点，
∴am²=a₁（m-3m）²-9a₁m²，整理得：（a+5a₁）m²=0．
∵m≠0，
∴a+5a₁=0，即$\frac{{a}_{1}}{a}$=-$\frac{1}{5}$．
如图2所示：当点D在点B左侧时．

∵点B的横坐标为m，AB=2m，BD=2AB，
∴BD=4m．
∴D的横坐标为-3m．
∴过点O、B、D三点的抛物线的对称轴为x=-m．
设过点O、B、D三点的抛物线的解析式为y=a₁（x+m）²+k．
将（0，0）代入得：k=-a₁m²．
∴抛物线的解析式为y=a₁（x+m）²-a₁m²．
∵点B为两抛物线的交点，
∴am²=a₁（m+m）²-a₁m²，整理得（3a₁-a）m²=0．
∴$\frac{{a}_{1}}{a}$=$\frac{1}{3}$．
综上所述，$\frac{{a}_{1}}{a}$的值为-$\frac{1}{5}$或$\frac{1}{3}$．
②如图3所示：当点D在点B的右侧时．过点P作PF⊥x轴，交AB与点E．

设点B的横坐标为m，由①可知BD=4m，过点O、B、D三点的抛物线的解析式为y=a₁（x+m）²-9a₁m²．
∴PF=-9a₁m²．
又∵EF=am²，
∴PE=-9a₁m²-am²．
∵△BDP为等腰直角三角形，
∴PE=$\frac{1}{2}$BD，
∴-9a₁m²-am²=2m．
又∵m=2，$\frac{{a}_{1}}{a}$=-$\frac{1}{5}$．
∴$\frac{18}{5}$a-2a=4，解得：a=$\frac{4}{5}$．
如图4所示：当点D在点B的左侧时，连结AP，交x轴与点E．

由①可知BD=4m，过点O、B、D三点的抛物线的解析式为y=a₁（x+m）²-a₁m²．
∴PE=a₁m²．
又∵AE=am²，
∴AP=a₁m²+am²．
∵△PBD为等腰直角三角形，
∴PA=$\frac{1}{2}$BD=2m，即a₁m²+am²=2m．
∵m=2，$\frac{{a}_{1}}{a}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2}{3}a$+2a=2，解得：a=$\frac{3}{4}$．
综上所述：a的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的对称性、函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，由点B为两抛物线的交点即B的纵坐标相等列出a与a₁的关系式是解答本题的关键．