Question

8．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（6，0），B（-2，0），C（0，-3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点H是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA的最大面积；
（3）若点Q在x轴上，点G为该抛物线的顶点，且∠QGA=45°，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（6，0），B（-2，0），C（0，-3）代入y=ax²+bx+c得求出a、b、c的值即可，
（2）过点H作HM⊥AB于H，设点H的坐标为：（m，$\frac{1}{4}$m²-m-3），根据S_{四边形OCHA}=S_△AMH+S_{梯形形OMHC}=$\frac{1}{2}$AM•HM+$\frac{1}{2}$（OC+MH）•OM代入整理，得出
S_{四边形OCHA}=-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+9，再求出二次函数的最大值即可，
（3）过点G作GQ⊥AB于Q，先求出点G的坐标，得出AQ=GQ=4，∠AQG=45°，从而求出点Q的坐标．

解答 解：（1）把A（6，0），B（-2，0），C（0，-3）代入物线y=ax²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是y=$\frac{1}{4}$x²-x-3；

（2）如图1，过点H作HM⊥AB于H，
设点H的坐标为：（m，$\frac{1}{4}$m²-m-3），
则HM=-$\frac{1}{4}$m²+m+3，OM=m，
∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0），
∴OA=6，OC=3，
∴AM=6-m，
∴S_{四边形OCHA}
=S_△AMH+S_{梯形形OMHC}
=$\frac{1}{2}$AM•HM+$\frac{1}{2}$（OC+MH）•OM
=$\frac{1}{2}$（6-m）（-$\frac{1}{4}$m²+m+3）+$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{4}$m²+m+3）m
=-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+9，
∴四边形OCHA的最大面积是；$\frac{4×（-\frac{3}{4}）×9-（\frac{9}{2}）^{2}}{4×（-\frac{3}{4}）}$=$\frac{63}{4}$，
（3）如图2，过点G作GQ⊥AB于Q，
∵点G为该抛物线的顶点，
∴点G的坐标为（2，-4），
∴AQ=GQ=4，
∴∠AGQ=45°，
∴点Q的坐标为（2，0）．

点评 此题考查了二次函数的综合，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形、梯形的面积求法，关键是根据题意作出辅助线，把四边形分解为梯形和三角形．