Question

在△ABC中，∠B=45°，D为BC边上一点，DC=2BD，以DC为直径作⊙O交AD于点E，交AC于点F，连BE，若∠ADC=60°
（1）判定BE与⊙O的位置关系；
（2）若EF=

2

，求S_△ABC．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连结OE，如图，易证得△ODE为等边三角形，则∠ODE=∠OED=60°，DE=OD，而DC=2BD，所以BD=DE，则∠B=∠BED，利用三角形外角性质可计算出∠BED=

1

2

∠ODE=30°，则∠OEB=∠OED+∠BED=90°，运算可根据切线的判定定理得到BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为r，则DE=OE=r，作AH⊥BC于H，连结CE、OE、OF，如图，先计算出BE=

3

OE=

3

r，再计算出∠1=∠2=15°，则AE=BE=

3

r；接着利用CE为直径得到∠CED=90°，利用CD=2DE得到∠DCE=30°，所以CE=

3

DE=

3

r，则EA=EC，于是可判断△EAC为等腰直角三角形，得到∠ACE=45°，根据圆周角定理有∠EOF=2∠ACE=90°，所以△OEF为等腰直角三角形，得到OE=

2

2

EF=1，即r=1，接着计算出AD=AE+DE=

3

+1，BC=3r=3，在△ADH中计算出DH=

1

2

AD=

3 +1

2

，AH=

3

DH=

3+ 3

2

，然后根据三角形面积公式求解．

解答：解：（1连结OE，如图，
∵∠ADC=60°，OE=OD，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠ODE=∠OED=60°，DE=OD，
∵DC=2BD，
∴BD=DE，
∴∠B=∠BED，
而∠ODE=∠B+∠BED，
∴∠BED=

1

2

∠ODE=30°，
∴∠OEB=∠OED+∠BED=90°，
∴OE⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为r，则DE=OE=r，
作AH⊥BC于H，连结CE、OE、OF，如图，
在Rt△OBE中，BE=

3

OE=

3

r，
∵∠ABC=45°，∠EBO=30°，
∴∠2=15°，
∵∠ODE=∠ABD+∠1，
∴∠1=15°，
∴∠1=∠2，
∴AE=BE=

3

r，
∵CE为直径，
∴∠CED=90°，
而DE=

1

2

CD，
∴∠DCE=30°，
∴CE=

3

DE=

3

r，
∴EA=EC，
∴△EAC为等腰直角三角形，
∴∠ACE=45°，
∴∠EOF=2∠ACE=90°，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∵EF=

2

，
∴OE=

2

2

•

2

=1，即r=1，
∴AD=AE+DE=

3

+1，BC=3r=3，
在△ADH中，∵∠ADO=60°，
∴DH=

1

2

AD=

3 +1

2

，
∴AH=

3

DH=

3+ 3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

•3•

3+ 3

2

=

9+3 3

4

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等腰三角形的判定与性质、圆周角定理．