Question

18．在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边BC∥x轴，如图所示，若A点坐标为（-1，2$\sqrt{2}$），C点坐标为（3，-2$\sqrt{2}$）
（1）求B点、D点的坐标；
（2）若P点以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度在长方形ABCD的边上从A点出发沿A→D→C的路径运动，到C点停止．①当P点运动时间为t₁=1秒时，求S_三角形BCP；②当P点运动时间为t₂=4秒时，求S_三角形BCP；③当P点运动时间为t₃=6秒时，求S_三角形BCP．（$\sqrt{2}$≈1.414，结果均保留1位小数）

Answer 1

分析 （1）根据A、D点的坐标，点A与点B关于x轴对称，点C与点D关于x轴对称，可得答案；
（2）①当P点运动时间1秒时，P点在AD上，△BCP的面积=$\frac{1}{2}$BC•AB；
②当P点 运动时间4秒时，P点在DC上，△BCP的面积=$\frac{1}{2}$BC•CP；
③当P点运动时间6秒时，P点在DC上，△BCP的面积=$\frac{1}{2}$BC•CP．

解答 解：（1）根据题意可知，点A与点B关于x轴对称，点C与点D关于x轴对称，
∴点B的坐标是（-1，-2$\sqrt{2}$），点D的坐标是（3，2$\sqrt{2}$）；
（2）根据题意得：AB=CD=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，AD=BC=1+3=4，
①当P点运动时间1秒时，AP=$\sqrt{2}$＜AD，
∴P点在AD上，
∴△BCP的面积=$\frac{1}{2}$BC•AB=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$≈11.3；
②当P点 运动时间4秒时，P点运动了4$\sqrt{2}$，
∵AD＜4$\sqrt{2}$＜AD+DC，
∴P点在DC上，CP=4$\sqrt{2}$-（4$\sqrt{2}$-4）=4，
∴△BCP的面积=$\frac{1}{2}$BC•CP=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
③当P点运动时间6秒时，P点运动了6$\sqrt{2}$，
∵AD＜6$\sqrt{2}$＜AD+DC，
∴P点在DC上，CP=4$\sqrt{2}$-（6$\sqrt{2}$-4）=4-2$\sqrt{2}$，
∴△BCP的面积=$\frac{1}{2}$BC•CP=$\frac{1}{2}$×4×（4-2$\sqrt{2}$）=8-4$\sqrt{2}$≈2.3．

点评 本题是四边形综合题目，考查了坐标与图形性质、轴对称的性质、矩形的性质、三角形的面积计算等知识；本题综合性强，熟练掌握坐标与图形性质是解决问题的关键．