Question

1．如图，在△ABC外有△ABD和△ACE，且∠DAB=∠EAC=90°，AD=AB，AC=AE，DC交BE于M．求证：①DC=BE，②DC⊥BE，③AM平分∠DME．

Answer 1

分析 ①由等腰直角三角形的性质得到AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，然后可证明∠DAC=∠BAE，接下来证明△DAC≌△BAE可得到DC=BE；
②根据全等三角形的判定与性质，可得∠AEB与∠ACD的关系，根据三角形的内角和，可得答案．
③过点A作AF⊥DC，AG⊥BE，垂足分别为F、G．首先证明△DAF≌△BAG，依据全等三角形的性质得到AF=AG，最后依据到角两边距离相等的点在角的平分线上．

解答 解：①∵△ABD、△AEC都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°．
∴∠DAC=∠BAE．
∵在△DAC和△BAE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS）．
∴DC=BE．
②∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°．
∴∠DAC=∠BAE．
∵在△DAC和△BAE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS）．
∠AEB=∠ACD．
∵∠AEB+∠EAC=∠EMC+∠ACD，
∴∠EMC=∠EAC=90°，
∴DC⊥BE．
③过点A作AF⊥DC，AG⊥BE，垂足分别为F、G．

∵AF⊥DC，AG⊥BE，
∴∠DFA=∠BGA=90°．
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE．
在△DAF和△BAG中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠ABE}\\{∠DFA=∠BGA}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△BAG．
∴AF=AG．
又∵AF⊥DC，AG⊥BE，
∴MA为∠DME的角平分线．

点评 本题主要考查全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，掌握本题辅助线的做法是解题的关键．