在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=ax2+bx+c过点(2.2)且当x=0时y取得最小值1．(1)求此抛物线的解析式,的直线交已知抛物线于P.Q两点(P点为抛物线上不同于A的一点)过点P.Q分别作x轴的垂线.垂足分别为S.R．①判断△SBR的形状,②在线段SR上求点M.使得以点P.S.M为顶点的三角形和以点Q.R.M为顶点的三角形相似,在已知抛物线内部.试探索是否存在满足下列� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c过点（2，2）且当x=0时y取得最小值1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图，过点B（0，2）的直线交已知抛物线于P、Q两点（P点为抛物线上不同于A的一点）过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①判断△SBR的形状；
②在线段SR上求点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似；
（3）已知点C（1，3）在已知抛物线内部，试探索是否存在满足下列条件的直线：①直线过点C（1，3），②直线交抛物线于E、F两点且C点恰好是线段EF的中点．若存在，请求出直线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据题意得出顶点的坐标，设抛物线的解析式为y=ax²+1，把（2，2）代入根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）①过点B作BN⊥PS，垂足为N，可以设P的坐标是（a，$\frac{1}{4}$a²+1），根据勾股定理就可以用a表示出PB=PS的长，同理可知BQ=QR，根据等边对等角就可以证明∠SBR=90度，则△SBR为直角三角形；
②若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等就可以求出．
（3）设E（m，$\frac{1}{4}$m²+1），根据题意得出F（-m+2，$\frac{1}{4}$（-m+2）²+1），然后根据梯形的中位线定理得出$\frac{1}{4}$m²+1+$\frac{1}{4}$（-m+2）²+1=6，解方程求得m的值，得出E的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式．

解答解：（1）∵当x=0时y取得最小值1．
∴顶点为（0，1），
设抛物线的解析式为y=ax²+1．
把（2，2）代入得2=4a+1，
解这个方程组，得a=$\frac{1}{4}$，
∴此抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+1．
（2）①证明：如图1，过点B作BN⊥PS，垂足为N．
∵P点在抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1上．可设P点坐标为（a，$\frac{1}{4}$a²+1）．
∴PS=$\frac{1}{4}$a²+1，OB=NS=2，BN=-a．
∴PN=PS-NS=$\frac{1}{4}$a²-1，
在Rt△PNB中．
PB²=PN²+BN²=（$\frac{1}{4}$a²-1）²+a²=（$\frac{1}{4}$a²+1）²
∴PB=PS=$\frac{1}{4}$a²+1．
同理可知BQ=QR．
∴∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
同理∠SBP=∠5，
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90度．
∴△SBR为直角三角形．
②如图2，作QN⊥PS，
设PS=b，QR=c，
∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．PN=b-c．
∴QN²=SR²=（b+c）²-（b-c）²
∴SR=2$\sqrt{bc}$．
假设存在点M．且MS=x，则MR=2$\sqrt{bc}$-x．
若使△PSM∽△MRQ，
则有 $\frac{b}{x}$=$\frac{2\sqrt{bc}-x}{c}$．
即x²-2$\sqrt{bc}$x+bc=0
∴x₁=x₂=$\sqrt{bc}$．
∴SR=2$\sqrt{bc}$，
∴M为SR的中点．
若使△PSM∽△QRM，
则有$\frac{b}{x}$=$\frac{c}{2\sqrt{bc}-x}$．
∴x=$\frac{2b\sqrt{bc}}{b+c}$．
∴$\frac{MR}{MS}$=$\frac{2\sqrt{bc}-x}{x}$=$\frac{2\sqrt{bc}}{\frac{2b\sqrt{bc}}{b+c}}$-1=$\frac{c}{b}$=$\frac{QB}{BP}$=$\frac{RO}{OS}$．
∴M点即为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．
（3）如图3，分别过E、C、F作EG⊥x轴于G，CK⊥x轴于K，FH⊥x轴于H，
设E（m，$\frac{1}{4}$m²+1），
∵C点恰好是线段EF的中点，C（1，3），
∴GK=HK=-m+1，
∴OH=-m+1+1=-m+2，
∴F（-m+2，$\frac{1}{4}$（-m+2）²+1），
∵CK=$\frac{1}{2}$（EG+FH）=3，
∴$\frac{1}{4}$m²+1+$\frac{1}{4}$（-m+2）²+1=6，
整理得：m²-2m-6=0，
解得m=1±$\sqrt{7}$，
∴E（1-$\sqrt{7}$，3-$\frac{\sqrt{7}}{2}$），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{\sqrt{7}}{2}=（1-\sqrt{7}）k+b}\\{3=k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴直线EF的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$．