Question

一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（8，0）和点B（0，6）．
（1）确定此一次函数的解析式．
（2）求坐标原点O到直线AB的距离．
（3）点P是线段AB上的一个动点，过点P作PM垂直于x轴于M，作PN垂直于y轴于N，记L=PM+PN，问L是否存在最大值和最小值？若存在，求出此时P点到原点O的距离，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）设点O到AB的距离为h，利用勾股定理列式求出AB，再利用△AOB的面积列式计算即可得解；
（3）设AM=x，表示出OM即PN的长，再利用∠BAO的正切值表示出PM，然后列出PM+PN的表达式，再根据一次函数的增减性求解即可．

解答：解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
∵函数图象经过点A（8，0）和点B（0，6），
∴

8k+b=0 b=6

，
解得

k=- 3 4 b=6

．
所以，函数解析式为y=-

3

4

x+6；

（2）设点O到AB的距离为h，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

82+62

=10，
S_△AOB=

1

2

×10h=

1

2

×8×6，
解得h=4.8，
所以，坐标原点O到直线AB的距离为4.8；

（3）设AM=x，
则OM=OA-AM=8-x，
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴四边形OMPN是矩形，
∴PN=OM=8-x，
∵PM=AM•tan∠BAO=

6

8

x=

3

4

x，
∴L=PM+PN=

3

4

x+8-x=-

1

4

x+8，
∵点P是线段AB上的一个动点，
∴点M在线段OA上，
∴0≤x≤8，
∵-

1

4

＜0，
∴当x=0时，L值最大，最大值为8，此时，点P到原点O的距离为8，
x=8时，L值最小，最小值为6，此时，点P到原点O的距离为6．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形，利用一次函数的增减性求最值问题，（2）利用三角形的面积公式列出方程是解题的关键，（3）难点在于列出L的表达式．