Question

14．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a，b满足|a-4|+$\sqrt{b-6}$=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动．
（1）点B的坐标为（4，6），当点P移动3.5秒时，点P的坐标（1，2）；
（2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
（3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求点P移动的时间．

Answer 1

分析 （1）根据$\sqrt{a-4}$+|b-6|=0，可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；
（2）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．
（3）分为点P在OC、BC、AB、AO上分类计算即可．

解答 解：：（1）∵a、b满足$\sqrt{a-4}$+|b-6|=0，
∴a-4=0，b-6=0，
解得a=4，b=6，
∴点B的坐标是（4，6），
∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动，
∴2×3.5=7，
∵OA=4，OC=6，
∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：7-6=1，
即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是（1，6）；
故答案为（4，6），（1，6）．

（2）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：4÷2=2秒，
第二种情况，当点P在BA上时．
点P移动的时间是：（6+4+2）÷2=6秒，
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或6秒．
（3）如图1所示：

∵△OBP的面积=10，
∴$\frac{1}{2}$OP•BC=10，即 $\frac{1}{2}$×4×OP=10．
解得：OP=5．
∴此时t=2.5s
如图2所示；

∵△OBP的面积=10，
∴$\frac{1}{2}$PB•OC=10，即 $\frac{1}{2}$×6×PB=10．
解得：BP=$\frac{10}{3}$．
∴CP=$\frac{2}{3}$．
∴此时t=$\frac{10}{3}$s，
如图3所示：

∵△OBP的面积=10，
∴$\frac{1}{2}$BP•BC=10，即 $\frac{1}{2}$×4×PB=10．
解得：BP=5．
∴此时t=$\frac{15}{2}$s
如图4所示：

∵△OBP的面积=10，
∴$\frac{1}{2}$OP•AB=10，即 $\frac{1}{2}$×6×OP=10．
解得：OP=$\frac{10}{3}$．
∴此时t=$\frac{25}{3}$s
综上所述，满足条件的时间t的值为2.5s或$\frac{10}{3}$s或$\frac{15}{2}$s或$\frac{25}{3}$s．

点评 本题考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．