Question

7．一列数a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{{1-{a_1}}}$，a₃=$\frac{1}{{1-{a_2}}}$，…，a_n=$\frac{1}{{1-{a_{n-1}}}}$，则a₂=2，a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₆=1008．

Answer 1

分析 把a₁=$\frac{1}{2}$代入a₂=$\frac{1}{{1-{a_1}}}$，计算求出a₂的值；根据a_n=$\frac{1}{{1-{a_{n-1}}}}$分别计算出a₃、a₄，发现这列数每3个一循环，求出一个循环组a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{2}$+2-1=$\frac{3}{2}$，由2016÷3=672，即可得到a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₆的值．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a₂=$\frac{1}{{1-{a_1}}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，
a₃=$\frac{1}{{1-{a_2}}}$=$\frac{1}{1-2}$=-1，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
∴这列数每3个一循环，且a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{2}$+2-1=$\frac{3}{2}$，
∵2016÷3=672，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₆=$\frac{3}{2}$×672=1008．
故答案为2，1008．

点评 本题考查了规律型：数字的变化类，正确运算得出a₃、a₄的值，从而发现这列数每3个一循环是解题的关键．