Question

2．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么成这个三角形为“好玩三角形”．
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点P、Q为BC、CD上的点，且BP=DQ，当三角形APQ为好玩三角形，且PQ等于PQ边上的中线时，求$\frac{BP}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点D，连接BD，设BC=$\sqrt{3}$x，根据条件可以求出AC=2x，由三角函数可以求出BD=2x，从而得出AC=BD，从而得出结论；
（2）如图2中，首先证明AE是△APQ的中线，设PE=QE=x，则AE=PQ=2x，推出AC=AE+CE=3x，AB=BC=$\frac{3x}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，PC=$\sqrt{2}$x，BP=BC-PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，取AC的中点D，连接BD，

∵∠C=90°，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴设BC=$\sqrt{3}$x，则AC=2x，
∵D是AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=x
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+{x}^{2}}$=2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；

（2）如图2中，连接AC．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=90°，
∵PB=DQ，
∴△ABP≌△ADQ，PC=CQ，
∴AP=AQ，
∴AC垂直平分线段PQ，
∴AE是△APQ的中线，易知△PCE，△CEQ，△ACB都是等腰直角三角形，
设PE=QE=x，则AE=PQ=2x，
∴AC=AE+CE=3x，
AB=BC=$\frac{3x}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，PC=$\sqrt{2}$x，BP=BC-PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\frac{3\sqrt{2}}{2}x}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题四边形综合运用的试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，锐角三角形函数值的运用，解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键．