Question

13．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动．若以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为2.4或1.5秒．

Answer 1

分析 由于两三角形相似时的对应点不确定，故应分△ACD∽△MNA与△ACD∽△NMA两种情况进行讨论，再根据相似三角形的对应边成比例求解即可．

解答 解：当△ACD∽△MNA时，
则$\frac{AD}{CD}=\frac{MA}{NA}$，即$\frac{6}{3}=\frac{t}{6-2t}$，
∴36-12t=3t．
∴t=2.4秒．
当△ACD∽△NMA时，则$\frac{AD}{CD}=\frac{NA}{MA}$，即$\frac{6}{3}=\frac{6-2t}{t}$．
∴6t=18-6t．
∴t=1.5秒．
答：以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为2.4秒或1.5秒．
故答案为2.4或1.5．

点评 主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质和一元一次方程的运用．要掌握矩形和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．