Question

2．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，下列结论中正确的是①②③．（填序号）   
①∠AGE=67.5°；     ②四边形AEFG是菱形；
③BE=2OF；            ④S_△DOG：S_{△四边形OGEF}=$\sqrt{2}$：1．

Answer 1

分析 根据正方形的性质、菱形的判定、等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理一一判断即可．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，
∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ODA=22.5°，EA=EF，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°，
∴∠3=∠GAD+∠1=45°+22.5°=67.5°，即∠AGE=67.5°；故①正确，
∵∠4=90°-∠1=67.5°，
∴∠3=∠4=∠5，
∴AE=AG=EF，AG∥EF，
∴四边形AEFG为菱形；故②正确，
∴GF∥AB，EF=GF，
∴∠6=∠7=45°，
∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$EF，GF=$\sqrt{2}$OF，
∴BE=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$OF=2OF；故③正确，
设OF=a，则GF=$\sqrt{2}$a，BF=$\sqrt{2}$a，
∴OB=（ $\sqrt{2}$+1）a，
∴OD=（ $\sqrt{2}$+1）a，DF=DO+OF=（2+$\sqrt{2}$）a，
∵∠DOG=∠DFE=90°，
∴△DOG∽△DFE，
∴$\frac{{S}_{△DOG}}{{S}_{△DFE}}$=（ $\frac{DO}{DF}$）²=[$\frac{（\sqrt{2}+1）a}{（2+\sqrt{2}）a}$]²=$\frac{1}{2}$，
∴S_△DOG：S_{四边形OGEF}=1：1．故④错误．
故答案为①②③

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质．