Question

1．抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交与A、B两点，与y轴相交于C，顶点D
（1）直接写出三A、B、C点的坐标和抛物线的对称轴．
（2）连接BC与抛物线的对称轴交与E点，P为线段BE上一点，过点P作直线PF平行于y轴交抛物线于点F，设P点的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，以点P、E、D、F为顶点的四边形为平行四边形．
②在①的条件下，求△BCF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的特点确定出点A，B，C的坐标，根据抛物线对称轴的公式确定出抛物线对称轴；
（2）①先表示出P，F的坐标，即可得出PF的长，再根据平行四边形的性质得出PF=DE求出m；
②由①知PF=2，再根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）令x=0，
∴y=3，
∴C（0，3）；令y=0，得0=-x²+2x+3，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
（2）①设直线BC的解析式为y=kx+b，
由（1）知，B（3，0），C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3
如图1，∵P点的横坐标为m，
∴P（m，-m+3），F（m，-m²+2m+3）
∴PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴E（1，2），
∵抛物线y=-x²+2x+3的顶点为D，
∴D（1，4），
∴DE=2，
∵以点P、E、D、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴PF=DE，
∴-m²+3m=2
∴m=2或m=1（不符合题意，舍）
∴当m=2时，四边形PEDF是平行四边形，
②如图2，由①知，F（2，3），PF=DE=2，
∴S_△BCF=S_△FPC+S_△FPB
=$\frac{1}{2}$PF•|x_P|+$\frac{1}{2}$PF•|x_B-x_F
|=$\frac{1}{2}$FP•（|x_P|+|x_B-x_F|）
=$\frac{1}{2}$×2×（2+1）=3．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是求出直线BC的解析式．