Question

18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P为线段BC上的点．请你写出所有符合以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标（2，4）或（8，4）或（3，4）．

Answer 1

分析 根据点A、C的坐标求出OA、OC，再根据线段中点的定义求出OD=5，过点P作PE⊥x轴于E，根据已知点P（3，4）判断出OP=OD，再根据PD=OD利用勾股定理列式求出DE的长，然后分点E在点D的左边与右边两种情况求出OE，然后写出点P的坐标即可．

解答 解：∵A（10，0），C（0，4），
∴OA=10，OC=4，
∵点D是OA的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×10=5，
过点P作PE⊥x轴于E，
则PE=OC=4，
∵P（3，4），
∴OP=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴此时，OP=OD，
当PD=OD时，由勾股定理得，DE=$\sqrt{P{D}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
若点E在点D的左边，OE=5-3=2，
此时，点P的坐标为（2，4），
若点E在点D的右边，则OE=5+3=8，
此时，点P的坐标为（8，4），
当PO=OD时，OE=$\sqrt{O{P}^{2}-P{E}^{2}}$=3，
∴此时，点P的坐标为（3，4），
综上所述，其余的点P的坐标为（2，4）或（8，4）或（3，4）．
故答案为：（2，4）或（8，4）或（3，4）．

点评 本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，难点在于要分两种情况写出点P的坐标．