Question

3．有一根直尺，短边的长为2cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②．设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤10，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积（即图中阴影部分）为Scm²．
（1）当x=0时，S=2cm²；当x=4时，S=10cm²；当x=10时，S=2cm²．
（2）是否存在一个位置，使阴影部分的面积为11cm²？若存在，求出此时x的值．

Answer 1

分析 （1）当x=0cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积是两直角边都为2厘米的三角形面积；当x=4cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积=两直角边都为6厘米的三角形面积-两直角边都为4厘米的三角形面积；当x=10cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积是两直角边都为2厘米的三角形面积；
（2）根据阴影部分面积为11cm²，列出方程-x²+10x-14=11，解方程即可求解．

解答 解：（1）当x=0cm时，S=2×2÷2=2cm²；
当x=4cm时，S=6×6÷2-4×4÷2=10cm²；
当x=10cm时，S=2×2÷2=2cm²．
故答案为：2cm²；10cm²；2cm²．

（2）当x=4时，S=10cm²，
所以当S=11cm²时，x必然大于4，即-x²+10x-14=11，
解得x₁=x₂=5，
所以当x=5cm时，阴影部分面积为11cm²．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，涉及的知识点有：直角三角形的面积，矩形的性质，梯形的面积，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，难度中等．