Question

由方程x²+4x+4=0的根为x₁=x₂=-2，可得x₁+x₂=-4，x₁．x₂=4，则
（1）方程x²-5x+6=0的根为x₁=

 

，x₂=

 

，x₁+x₂=

 

，x₁．x₂=

 

；
（2）x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两个根，则x₁+x₂=

 

，x₁．x₂=

 

；
（3）已知x₁，x₂（其中x₁＞x₂）是方程2x²+5x-2=0的两个根，由（2）的结论，不解方程求①x₁²+x₂²，②x₁-x₂的值．

Answer 1

分析：（1）把方程x²-5x+6=0进行因式分解，求出x₁、x₂的值即可；
（2）根据方程根与系数的关系直接解答即可；
（3）由方程根与系数的关系分别求出x₁+x₂，x₁．x₂的值，代入x₁²+x₂²及x₁-x₂进行计算．

解答：解：（1）∵方程x²-5x+6=0可化为（x-2）（x-3）=0，
∴x₁=2，x₂=3，
∴x₁+x₂=5，x₁．x₂=6，
故答案为：2，3，5，6．（2分）

（2）∵x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两个根，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁．x₂=

c

a

；
故答案为：-

b

a

，

c

a

；（4分）

（3）∵x1+x2=-

b

a

，x1．x2=

c

a

，
∴x1+x2=-

5

2

，x₁．x₂=-1，
∴x₁²+x₂²=(x1+x2)2-2x1．x2=

25

4

+2=

33

4

，（7分）

x1-x2= (x1-x2)2 = (x1+x2)2-4x1．x2 = 25 4 +4 = 41 2

（10分）

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及用因式分解法解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键，即x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．