Question

19．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H．
（1）求证：四边形FBGH是平行四边形；
（2）如果AC平分∠BAH，求证：四边形ABCH是菱形．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线知识可得DF∥BG，GH∥BF，根据平行四边形的判定的判定可得四边形FBGH是平行四边形．
（2）连结BH，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB=OH，OF=OG，又AF=CG，所以OA=OC．再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得证四边形ABCH是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解．

解答 证明：（1）∵点F、G是边AC的三等分点，
∴AF=FG=GC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DH∥BG．
同理：EH∥BF．
∴四边形FBGH是平行四边形．
（2）连结BH，交AC于点O．
∵四边形FBGH是平行四边形，
∴BO=HO，FO=GO．
又∵AF=FG=GC，
∴AF+FO=GC+GO．即：AO=CO．
∴四边形ABCH是平行四边形．
∴AH∥BC．
∴∠HAC=∠BCA．
∵AC平分∠BAH，
∴∠HAC=∠BAC．
∴∠BAC=∠BCA．
∴AB=BC．
又∵四边形ABCH是平行四边形，
∴四边形ABCH是菱形．

点评 本题考查菱形的判定，平行四边形的判定和性质．注意运用三角形的中位线的知识．