Question

设m、n、p、q为非负整数，且对于一切x＞0，

(x+1)m

xn

-1=

(x+1)p

xq

恒成立，则（m²+mn+p）^2q=

 

．

Answer 1

分析：根据题意，对于一切x＞0，

(x+1)m

xn

-1=

(x+1)p

xq

恒成立．取x=1和x=2两个特殊值，分别得出m，n，p，q的值．然后得出结果．

解答：解：由于

(x+1)m

xn

-1=

(x+1)p

xq

对一切x＞0恒成立，
故取x=1时，有2^m-1=2^p，由于2^p≠0，2^m-1为奇数，因此p=0，m=1；
再取x=2，则有

3

2n

-1=

1

2q

，即3-2ⁿ=2^n-q，若n＞q，由上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾；
若n＜q则上式左边的整数，右边为真分数，矛盾，
所以只有n=q=1，
于是：（m²+mn+p）^2q=2²=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了分式的等式应用．根据条件取x的特殊值，得出m，n，p，q的值是解题关键．