Question

20．如图，抛物线y=x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点是D，且点A坐标为（-1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是$\frac{4}{17}$．

Answer 1

分析 先把A点坐标代入y=x²+bx-2求出b得到抛物线解析式为y=x²-x-2，则求出C（0，-2），从而得到C点关于x轴的对称点C′的坐标为（0，2），再把解析式配成顶点式得到D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），连结C′D交x轴于M，如图，根据两点之间线段最短可判断∴此时MC+MD的值最小，接着利用待定系数法求出直线C′D的解析式为y=-$\frac{17}{2}$x+2，然后确定M点坐标，从而得到m的值．

解答 解：把A（-1，0）代入y=x²+bx-2得1-b-2=0，解得b=-1，
∴抛物线解析式为y=x²-x-2，
当x=0时，y=x²-x-2=-2，则C（0，-2），
∴C点关于x轴的对称点C′的坐标为（0，2），
∵y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
连结C′D交x轴于M，如图，
∵MC+MD=MC′+MD=C′D，
∴此时MC+MD的值最小，
设直线C′D的解析式为y=kx+n，
把C′（0，2），D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{\frac{1}{2}k+n=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{17}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线C′D的解析式为y=-$\frac{17}{2}$x+2，
当y=0时，-$\frac{17}{2}$x+2=0，解得x=$\frac{4}{17}$，
∴此时M点的坐标为（$\frac{4}{17}$，0），即m=$\frac{4}{17}$．
故答案为$\frac{4}{17}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题．也考查了最短路径问题的解决方法．