Question

在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₁C₂…，A₁、A₂、A₃…在直线y=x+1上，点C₁、C₂、C₃…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左导游依次记为S₁、S₂、S₃、…S_n，则S_n的值为　　（用含n的代数式表示，n为正整数）．

Answer 1

2^2n﹣3：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，

∴OA₁=1，OD=1，

∴∠ODA₁=45°，

∴∠A₂A₁B₁=45°，

∴A₂B₁=A₁B₁=1，

∴S₁=×1×1=，

∵A₂B₁=A₁B₁=1，

∴A₂C₁=2=2¹，

∴S₂=×（2¹）²=2¹

同理得：A₃C₂=4=2²，…，

S₃=×（2²）²=2³

∴S_n=×（2^n﹣1）²=2^2n﹣3

故答案为：2^2n﹣3．