Question

9．△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=5cm，AC=10cm，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接BP、PC．只要证明Rt△PBD≌Rt△PCE（HL），即可推出BD=CE．
（2）首先证明Rt△APD≌Rt△APE，推出AD=AE，设AD=AE=x，由BD=EC，可得AB+AD=AC-AE，即5+x=10-x，解方程即可．

解答 （1）证明：如图，连接BP、PC．

∵PQ垂直平分线段BC，
∴PB=PC，
∵∠PAD=∠PAE，PD⊥AD，PE⊥AE，
∴PD=PE，∠PDB=∠PEC=90°，
在Rt△PBD和Rt△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PD=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBD≌Rt△PCE（HL），
∴BD=CE．

（2）解：在Rt△APD和Rt△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{PD=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△APD≌Rt△APE，
∴AD=AE，设AD=AE=x，
∵△PBD≌△PCE，
∴BD=EC，
∴AB+AD=AC-AE，
∴5+x=10-x，
∴x=2.5，
∴AD=2.5．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质．角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用 方程的思想思考问题，属于中考常考题型．