Question

已知如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，过⊙O₁上一点B作⊙O₁的切线，交⊙O₂于点C，D，直线BP交⊙O₂于点A．
（1）求证：△CBP∽△ADP；
（2）若AP：BP=3：2，且C为BD中点，求DA：BC．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明∠CBP=∠ADC，此为解决该题的关键性结论．
（2）设PA=3λ，则PB=2λ．由割线定理求出BC=

5

λ；由△CBP∽△ADP，得到PC•AD=3

5

λ2；求出PC=

5

5

AD，进而求出AD=

15

λ，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，过点P作两圆的公切线MN；
则MP=MB，
∴∠MBP=∠MPB；而∠ADP=∠APN，∠MPB=∠APN，
∴∠CBP=∠ADC，而∠BCP=∠A，
∴△CBP∽△ADP．
（2）设PA=3λ，则PB=2λ．
∵BC•BD=BP•BA，BC=CD，
∴2BC²=10λ²，BC=

5

λ；
∵△CBP∽△ADP，
∴

PC

PA

=

BC

AD

，
∴PC•AD=3

5

λ2；
∵∠BCP=∠A，∠CBP=∠ABD，
∴△BPC∽△BDA，
∴

PC

AD

=

BC

AD

=

5

5

，
∴PC=

5

5

AD，
∴

5

5

AD2=3

5

λ2，
∴AD=

15

λ，
∴DA：BC=

3

：1．

点评：该题以圆为载体，以考查相切两圆的性质、相似三角形的判定及其性质为核心构造而成；解题的关键是作辅助线；灵活运用相切两圆的性质、相似三角形的判定及其性质来分析、判断．