Question

4．如图，四边形ABCD中，∠DAB=90°，AD=CD，∠BCD=∠CDA=120°，则$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 延长AD、BC相交于点E，求出∠CDE=∠DCE=60°，从而判断出△CDE是等边三角形，过点D作DF⊥CE于F，设AD=CD=x，然后求出AE、DF，再求出AB、BC，最后根据三角形的面积公式列式求解即可．

解答 解：如图，延长AD、BC相交于点E，
∵∠BCD=∠CDA=120°，
∴∠CDE=∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=DE=CE，∠E=60°，
过点D作DF⊥CE于F，设AD=CD=x，
则AE=AD+DE=x+x=2x，
DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵∠E=60°，∠DAB=90°，
∴AB=$\sqrt{3}$AE=2$\sqrt{3}$x，
BE=2AE=2•2x=4x，
∴BC=BE-CE=4x-x=3x，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$x•x=$\sqrt{3}$x²，
S_△BDC=$\frac{1}{2}$BC•DF=$\frac{1}{2}$•3x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²，
所以，$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{\frac{3}{4}\sqrt{3}{x}^{2}}$=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造出等边三角形以及有一个角是60°的直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．