Question

1．抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．

（1）若m=-3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；
（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S_△ACE=$\frac{10}{3}$S_△ACD，求点E的坐标；
（3）如图2，设F（-1，-4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；
（2）如图1，设E（m，m²+2m-3），先根据已知条件求S_△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E的横坐标小于-1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；
（3）设点P（0，y）．分两种情况：
①当m＜0时，如图2，△POB∽△FGP，根据对应线段成比例即可求出m的取值范围；
②当m＞0时，如图3，△POB∽△FGP，根据对应线段成比例即可求出m的取值范围．

解答 解：（1）当m=-3时，B（-3，0），
把A（1，0），B（-3，0）代入到抛物线y=x²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9-3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3=（x+1）²-4；
对称轴是：直线x=-1；
（2）如图1，设E（m，m²+2m-3），
由题意得：AD=1+1=2，OC=3，
S_△ACE=$\frac{10}{3}$S_△ACD=$\frac{10}{3}$×$\frac{1}{2}$AD•OC=$\frac{5}{3}$×2×3=10，
设直线AE的解析式为：y=kx+b，
把A（1，0）和E（m，m²+2m-3）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{mk+b={m}^{2}+2m-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=m+3}\\{b=-m-3}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x-m-3，
∴F（0，-m-3），
∵C（0，-3），
∴FC=-m-3+3=-m，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$FC•（1-m）=10，
-m（1-m）=20，
m²-m-20=0，
（m+4）（m-5）=0，
m₁=-4，m₂=5（舍），
∴E（-4，5）；
（3）设点P（0，y）．
①当m＜0时，
如图2，△POB∽△FGP
得$\frac{OB}{PG}$=$\frac{OP}{FG}$
∴m=y²+4y=（y+2）²-4
∵-4＜y＜0，
∴-4≤m＜0．
②当m＞0时，
如图3，△POB∽△FGP
∴$\frac{OB}{PG}$=$\frac{OP}{FG}$
∴$\frac{m}{y+4}$=$\frac{-y}{1}$
∴m=-y²-4y=-（y+2）²+4
∴-4＜y＜0
∴0＜m≤4
综上所述，m的取值范围是-4≤m≤4且m≠0．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、配方法求对称轴、等腰直角三角形的性质和判定、三角形面积的求法，及三角形全等的判定与性质．