Question

12．如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，点P从点A出发以1cm/s的速度移动到点B，点Q从点C出发以2cm/s的速度移动到点A．
（1）点P出发多少秒后，四边形BCQP的面积为△ABC面积的$\frac{5}{6}$？
（2）点P多少秒后，使得BC∥PQ？

Answer 1

分析 （1）设t秒后四边形BCQP的面积为△ABC面积的$\frac{5}{6}$，分别表示出线段AP和线段AQ的长，再利用三角形的面积公式列出方程求解即可．
（2）利用平行线截线段成比例进行解答．

解答 解：（1）设t秒后四边形BCQP的面积为△ABC面积的$\frac{5}{6}$，即△APQ的面积为△ABC面积的$\frac{1}{6}$，
依题意得：$\frac{1}{2}$t×（8-2t）=$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{2}$×6×8，
解得t₁=t₂=2．
答：点P出发2秒后，四边形BCQP的面积为△ABC面积的$\frac{5}{6}$；

（2）设点P运动x秒后，使得BC∥PQ．
依题意得：$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{8-2x}{8}$，
解得x=$\frac{12}{5}$．且符合题意．
答：点P运动$\frac{12}{5}$秒后，使得BC∥PQ．

点评 本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．