Question

1．如图，AB为⊙O的一条固定直径，自左半圆上一点C，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点E，当点C在左半圆（不包括A，B两点）上移动时，关于点E的说法：
①到CD的距离始终不变；
②位置始终不变；
③始终平分$\widehat{DB}$；
④位置随点C的移动而移动，
正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②
• D． ④

Answer 1

分析 连接OE，由CE平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠E，所以有OE∥CD，则OE⊥AB，即可得到OE平分半圆AEB．

解答 解：连OE，如图，
∵CE平分∠OCD，
∴∠1=∠2，
而OC=OE，有∠1=∠E，
∴∠2=∠E，
∴OE∥CD，
∵点O到CD的距离在变，
∴点E到CD的距离发生变；故①错误；
又∵弦CD⊥AB，
∴OE⊥AB，
∴OE平分半圆AEB，即点E是半圆的中点，
∴点E位置始终不变；故②正确．
故选C．

点评 本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．