Question

7．如图所示，△ABC内角∠ABC的平分线与外角∠ACE的角平分线交于点A₁．
（1）试求∠BA₁C与∠BAC的关系；
（2）若△A₁BC内角∠A₁BC的平分线与外角∠A₁CE的平分线交于点A₂，试求∠BA₂C与∠BAC的关系．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可求出∠A₁的度数，同理求出∠A₂，可以发现后一个角等于前一个角的$\frac{1}{2}$；
（2）方法同（1）．

解答 解：（1）∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠BA₁C=$\frac{1}{2}$∠BAC；

（2）∵A2B是∠A₁BC的平分线，A₂C是∠A₁CE的平分线，
∴∠A₂BC=$\frac{1}{2}$∠A₁BC，∠A₂CE=$\frac{1}{2}$∠A₁CE，
又∵∠A₁CE=∠A₁+∠A₁BE，∠A₂CE=∠A₂BE+∠A₂，
∴$\frac{1}{2}$（∠A₁+∠A₁BE）=$\frac{1}{2}$∠A₁BE+∠A₂，
∴∠BA₂E=$\frac{1}{2}$∠BA₁E；
∠BA_2E=$\frac{1}{2}$BA₁E，
∴∠BA₂C=$\frac{1}{4}$∠BAC．

点评 本题考查的是三角形内角和定理角平分线的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．