Question

在直径为2的⊙O中，弦AC长度为

3

，弦AB的长度为

2

，则∠BAC=

 

°．

Answer 1

考点：垂径定理,特殊角的三角函数值

专题：分类讨论

分析：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．

解答：解：有两种情况：
①如图所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=

3

2

，AF=CF=

2

2

，
cos∠OAE=

AE

OA

=

3

2

，cos∠OAF=

AF

OA

=

2

2

，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，
∴∠BAC=30°+45°=75°；
②如图所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=

3

2

，AF=CF=

2

2

，
cos∠OAE=

AE

OA

=

3

2

，cos∠OAF=

AF

OA

=

2

2

，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，
∴∠BAC=45°-30°=15°，
故答案为：75或15．

点评：题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．此题比较好，但是一道比较容易出错的题目．