Question

2．在△ABC中，AB=$\sqrt{3}$，BC=4，∠ABC=60°，以AC为斜边作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长度为$\frac{\sqrt{62}}{2}$．

Answer 1

分析 以AB为腰作等腰Rt△ABE，连接EC，由△ADC为等腰Rt△知$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、∠EAB=∠DAC=45°，结合∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC即∠EAC=∠DAB，证△EAC∽△BAD得$\frac{BD}{EC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，作EF⊥BC交BC延长线于F，知∠EBF=30°，从而求得EF=BEsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，FB=BEcos30°=$\frac{3}{2}$，继而得EC=$\sqrt{E{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{31}$，根据BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC可得答案．

解答 解：以AB为腰作等腰Rt△ABE，连接EC，

∵△ADC为等腰Rt△，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠EAB=∠DAC=45°，
∴∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，
∴∠EAC=∠DAB，
∴△EAC∽△BAD，
∴$\frac{BD}{EC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
作EF⊥BC交BC延长线于F，
∵∠ABC=60°，∠EBA=90°，
∴∠EBF=30°，
∴EF=BEsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，FB=BEcos30°=$\frac{3}{2}$，
∴EC=$\sqrt{E{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{31}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC=$\frac{\sqrt{62}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{62}}{2}$．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点，有一定难度．正确作出辅助线是本题的难点．