Question

12．在正方形ABCD中，E、F分别为AB延长线、BC边上两点，且BE=BF，连接CE、AF．

（1）如图1，求证：AF⊥CE；
（2）如图2，延长AF交CE于G，作CH⊥BG于H，求证：AG=$\sqrt{2}$BH；
（3）如图3，取AC、EF的中点M、N，若AB=3，BE=1，请直接写出线段MN的长度为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ABF≌△CBE，得出∠BAF=∠BCE，再用互余即可判断出∠BCE+∠CFG=90°，即可得出结论；
（2）先判断出AM=BH，再判断出∠AGB=45°，最后用等腰直角三角形即可得出结论；
（3）先求出EF，进而求出BN，同理：求出BM，再判断出△BMN是直角三角形，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，
延长AF交CE于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠CBE=90°，AB=BC，
在△ABF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBE}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠BAF=∠BCE，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BCE+∠AFB=90°．
∵∠AFB=∠CFG，
∴∠BCE+∠CFG=90°，
∴∠CGF=90°，
∴AG⊥CE；

（2）如图2，过点A作AM⊥HB交HB的延长线M，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵∠ABC=90°
，∴∠ABM+∠CBH=90°，
∴∠BAM=∠CBH，
在△ABM和△BCH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠BHC=90°}\\{∠BAM=∠CBH}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCH，
∴AM=BH，
∵∠CBE=90°，BE=BF，
∴∠BEF=45°，
∵∠EBF=∠AGE=90°，
∴点B，E，G，F四点共圆，
∴∠BGF=∠BEF=45°，
在Rt△AMG中，∠AGM=45°，
∴AG=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$BH；

（3）如图3，连接BN，BM，
在Rt△BEF中，BE=BF=1，∴EF=$\sqrt{2}$，
∴点N是EF的中点，
∴∠FBN=45°，BN=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
同理：∠CBM=45°，BM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴∠MBN=∠CBM+∠FBN=90°，
根据勾股定理得，MN=$\sqrt{B{M}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故答案为$\sqrt{5}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是判断出△ABF≌△CBE（SAS），解（2）的关键是构造全等三角形，解（3）的关键是判断出△MBN是直角三角形．