Question

11．已知，如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）．
（1）试确定抛物线的函数表达式；
（2）已知点C是抛物线在x轴上方的动点，求△OBC的面积的最大值，并求出此时点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P是线段BC上的动点，求当△OPC与△OBC相似时的P点坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A和点B的坐标抛物线的解析式得到关于a、c的方程组，从而可求得a、c的值，故此可得到抛物线的解析式；
（2）先利用配方法求抛物线的顶点坐标，当点C在x轴上方移动时，点C的纵坐标最大时，三角形的面积最大，故此可知点C为抛物线的顶点（1，2），然后依据三角形的面积公式求解即可；
（3）过点C作PD⊥x轴，垂足为D，过点P作PE⊥x轴，垂足为E．由点C的坐标为可得到CD=2，由两点间的距离公式可知：CO=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$，由相似三角形的判断定理可知当$\frac{CP}{OC}$=$\frac{OC}{BC}$时，△OBC∽△POC，于是可求得PC的长，然后在Rt△PEB中，可求得PE、BE的长，由OE=OB-EB可求得OE的长，故此可得到点P的坐标．

解答 解：（1）将点A和点B的坐标抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=1}\\{9a+c=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，c=$\frac{3}{2}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$．

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2．
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．
由题意可知，当点C到x轴的距离最大时，△OBC的面积取得最大值，
∴点C为抛物线的顶点（1，2）．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$×3×2=3．

（3）如图所示：过点C作PD⊥x轴，垂足为D，过点P作PE⊥x轴，垂足为E．

∵点C的坐标为（1，2），
∴CD=2．
依据两点间的距离公式可知：CO=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$．
∵∠PCO=∠OCP，
∴当$\frac{CP}{OC}$=$\frac{OC}{BC}$时，△OBC∽△POC，
∴CP=$\frac{O{C}^{2}}{BC}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
∴PB=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∵CD=BD，∠CDB=90°，
∴∠CBD=45°．
又∵∠PEB=90°，
∴∠EPB=45°．
∴PE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB=$\frac{3}{4}$．
∴OE=OB-BE=$\frac{9}{4}$．
∴点P的坐标为（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 .本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求二次函数的最大值、三角形的面积公式、相似三角形的判定，找出△OBC∽△POC的条件是解题的关键．