Question

3．高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km，BB′=4km，且A′B′=8km，要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短，求这个最短距离．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．

解答 解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点C，再连结CB，交直线MN于点P，
则此时AP+PB最小，过点B作BD⊥CA延长线于点D，
∵AA′=2km，BB′=4km，A′B′=8km，
∴AC=4km，则CD=6km，
在Rt△CDB中，
CB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（km），
则AP+PB的最小值为：10km．

点评 此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．