Question

如图，AB是⊙O的直径，BE⊥CD于E．
（1）求证：AB•BE=BC•BD；
（2）若AB=26，CD=24，求sin∠CBD．

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据AB是直径，得到∠ADB=∠CEB=90°，从而证得△CBE∽△ABD后得到等积式；
（2）连接DO并延长交⊙O于点F，将sin∠CBD转化为sin∠F求解．

解答：（1）证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵BE⊥CD
∴∠ADB=∠CEB
∵∠A=∠C
∴△CBE∽△ABD
∴

AB

BC

=

BD

BE

∴AB•BE=BC•BD；
（2）解：连接DO并延长交⊙O于点F，
∵DF是直径，
∴∠FCD=90°
∴∠F=∠CBD AB=DF=26
∴CD=24
∴sin∠CBD=sin∠F=

CD

DF

=

24

26

=

12

13

点评：本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定与性质，证明等积式时首先转化为比例式，然后证明比例式中的线段所在的三角形全等即可．