Question

5．以Rt△OAB的两直角边所在的直线为坐标轴，以直角顶点O为原点，建立直角坐标系，如图所示，且点A、B的坐标分别为（0，8）和（6，0）．若保持线段AB的长度不变，点A在y轴正半轴上向下滑动，则点B在x轴正半轴上向右滑动．
（1）求Rt△OAB斜边AB上的高h的长度．
（2）如果点A下滑1个单位长度到点C，则点B向右滑动到点D，猜一猜点B滑动的距离比1大，还是比1小，或者等于1？设BD=x，列出点B滑动距离x满足的方程，并尝试得出这个方程的近似解．（提供参考数据：$\sqrt{51}$≈7.1，$\sqrt{3}$=1.7，保留一位小数）
（3）是否存在点A和点B滑动距离相等的情形？若存在．试求出此时滑动的距离，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式列式求出h；
（2）根据勾股定理求出OD，计算出BD，比较即可；
（3）设点A、B滑动距离均为x，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）由题意得，OA=8，OB=6，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
则$\frac{1}{2}$×OA×OB=$\frac{1}{2}$×AB×h，即$\frac{1}{2}$×8×6=$\frac{1}{2}$×10×h，
解得，h=4.8；
（2）由题意得，OC=7，
则OD=$\sqrt{C{D}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{51}$≈7.1，
BD=OD-OB=7.1-6=1.1，
则点B滑动的距离比1大；
（3）设点A、B滑动距离均为x，由（8-x）²+（6+x）²=10²，
解得x₁=0（舍去），x₂=2，
∴当x=2时滑动距离相等．

点评 本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，掌握勾股定理、三角形的面积公式、灵活运用方程思想是解题的关键．